Приведем пример серии задач с нарастающей трудностью по теме «Площадь треугольника», в которой задачи 1—6 по сути являются подготовительными к задаче 7.

1. Даны точки А(3;0), B(3,5), С(-1;3), К(-1;0). Вычис­лите площадь четырехугольника АBСK.

2. Даны точки А (2; 0), В (2; 3), С (- 1, 4), К (-3; 2). Е (-3; 0). Вычислите площади многоугольников АВСКЕ и ВСК.

3. Даны точки A (x1; 0), В (х2; 0), С (х2; y2), К (x3; y3), Е (x1; y1). Укажите способ вычисления площади треугольника СКЕ, если:

1) x1<x3<x2, 0<y2<yl<y3;

2) x1<x2<x3, 0<y3<yl<y2.

4. Даны точки A(x1;y1), В (х2; у2), C(х3; у3), где y1, у2, у3 — положительные числа. Докажите, что площадь треугольника ABC может быть вычислена по формуле S=0.5|S1|, где

S1 =x1 (y2—y3)+x2 (у3—y1)+x3 (у1—y2).

5. Докажите, что можно подобрать такой параллельный пе­ренос на вектор (0; m), при котором точки A (х1;у1), В (х2; y2), С(х3; у3) перейдут в точки A' (х1'; у1'), B' (х2'; у2'), С' (х3'; у3'), причем у1'>0, у2'>0, у3'>0.

6. Даны три точки А(х1; у1), В(х2; у2), С (х3; у3) и точки A' (х1; у1 +m), В'(х2; у2 +m), С' (х3; у3 +m), полученные при па­раллельном переносе на вектор (0; m), причем у1 +m, у2 +m, у3 +m - положительны. Вычислите площадь треугольника А'В'С'. Объясните, почему результат не зависит от m.

7. Докажите, что площадь треугольника АВС вычисляется по формуле

S =0.5|x1(y2—y3) + x2 (у3—y1) + x3 (у1—y2)|

независимо от того, какая из его вершин обозначена через (x1;y1), (х2; у2), (х3; у3),

Приложение 3